Question

9．設(shè)集合P={1，2，…，6}，A，B是P的兩個非空子集．則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對（A，B）的個數(shù)為：129．

Answer 1

分析 設(shè)A中的最大數(shù)為k，其中1≤k≤n-1，整數(shù)n≥3，則A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a_n，當(dāng)n=6時，代值計算即可．

解答 解：設(shè)A中的最大數(shù)為k，其中1≤k≤n-1，整數(shù)n≥3，
則A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，
可在A中，故A的個數(shù)為：C_k-1⁰+C_k-1¹+C_k-1²+…+C_k-1^k-1=2^k-1，
B中必不含元素1，2，…，k，
另元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中，
故B的個數(shù)為：C_n-k¹+C_n-k²+…+C_n-k^n-k=2^n-k-1，
從而集合對（A，B）的個數(shù)為2^k-1•（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1，
∴a_n=$\sum_{n=1}^{k-1}$（2^n-1-2^k-1）=（n-1）•2^n-1-$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=（n-2）•2^n-1+1．
當(dāng)n=6時，a₆=（6-2）×2⁵+1=129
故答案為：129．

點評 本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查數(shù)列的通項公式，是中檔題．