已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*.
(1)證明:{an-1}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整數(shù)n.
分析:(1)通過(guò)a
n=S
n-S
n-
1求出當(dāng)≥2時(shí),a
n的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可得出
為常數(shù),進(jìn)而驗(yàn)證a
1-1最后可確定{a
n-1}是等比數(shù)列;
(2)根據(jù)(1){a
n-1}是以15為首項(xiàng),公比為
的等比數(shù)列可求得數(shù)列{a
n-1}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式.可知
{a
n}是由常數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)成,進(jìn)而求出S
n.進(jìn)而代入S
n+1>S
n兩邊求對(duì)數(shù),進(jìn)而可得答案.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a
1=-14;
當(dāng)n≥2時(shí),a
n=S
n-S
n-
1=-5a
n+5a
n-
1+1,
所以
an-1=(an-1-1),
又a
1-1=-15≠0,所以數(shù)列{a
n-1}是等比數(shù)列;
(2)由(1)知:
an-1=-15•()n-1,
得
an=1-15•()n-1,
從而
Sn=75•()n-1+n-90(n∈N
*);
由S
n+1>S
n,得
()n-1<,
n>log+1≈14.9,
最小正整數(shù)n=15.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列等比關(guān)系的確定.等比數(shù)列的通向公式可以寫(xiě)成
=qn,所以它與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有著密切的聯(lián)系,從而可以利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列.