Question

已知S_n=（

1

2

）²+（

1

3

）²+…+（

1

n+1

）²，判斷命題

1

6

＜S_n＜1，對(duì)任意的n∈N⁺成立的真假，說明理由．

Answer 1

分析：利用n（n-1）＜n²＜n（n+1）（n≥2），可得

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

，裂項(xiàng)求和可得結(jié)論．

解答：解：∵n（n-1）＜n²＜n（n+1）（n≥2）
∴

1

n(n+1)

＜

1

n2

＜

1

n(n-1)

∴

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

∴

1

2

-

1

n+2

＜S_n＜1-

1

n+1

∵n≥2
∴

1

2

-

1

n+2

≥

1

4

，1-

1

n+1

＜1
∴命題

1

6

＜S_n＜1，對(duì)任意的n∈N⁺成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假判斷，考查裂項(xiàng)求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．