Question

若函數(shù)f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

為奇函數(shù)（a為常數(shù)）．
（1）求a的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析：（1）由于已知函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可得f（-x）+f（x）=0，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解方程可得a的值；
（2）由（1）得函數(shù)的解析式，設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，判斷f（x₁）-f（x₂）與0的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的定義，可得答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

為奇函數(shù)
∴f(-x)+f(x)=log

1

2

1+ax

-x-1

+log

1

2

1-ax

x-1

=log

1

2

1+ax

-x-1

•

1-ax

x-1

=0
即

1+ax

-x-1

•

1-ax

x-1

=1
解得a=-1    （6分）
（2）設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴2x₂-2x₁＞0
∴f(x1)-f(x2)=log

1

2

1+x1

x1-1

-log

1

2

1+x2

x2-1

=log

1

2

x2-x1+x1x2-1

x1-x2+x1x2-1

又∵

x2-x1+x1x2-1

x1-x2+x1x2-1

＞1
∴log

1

2

x2-x1+x1x2-1

x1-x2+x1x2-1

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．      （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，其中熟練掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義是解答本題的關(guān)鍵．