Question

已知n∈N^*，數(shù)列{d_n}滿足d_n=

3+(-1)n

2

，數(shù)列{a_n}滿足a_n=d₁+d₂+…+d_2n
（1）求數(shù)列{a_n}；
（2）若數(shù)列b_n=2ⁿ，將數(shù)列{b_n}中的第a₁項(xiàng)，第a₂項(xiàng)，第a₃項(xiàng)，…刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前2014項(xiàng)和T₂₀₁₄．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先根據(jù)a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n直接得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題知將數(shù)列{b_n}中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列{c_n}的前2014項(xiàng)和即可．

解答： 解：（1）∵dn=

3+(-1)n

2

，
∴a_n=d₁+d₂+…+d_2n=

3-1

2

+

3+1

2

…+

3+1

2

=3n；             （6分）
（2）∵數(shù)列b_n=2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)，…刪去后構(gòu)成新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)仍成等比數(shù)列，
首項(xiàng)分別是b₁=2，b₂=4公比均是8，
∴T₂₀₁₄=（c₁+c₃+c₅+…+c₂₀₁₃）+（c₂+c₄+c₆+…+c₂₀₁₄）
∴T2014=

2(1-81007)

1-8

+

4(1-81007)

1-8

=

6(81007-6)

7

（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，一般數(shù)列的求和方法，屬中檔題．