）如圖，橢圓：，、、、為橢圓的頂點

（Ⅰ）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，求橢圓方程；

（Ⅱ）已知:直線相交于，兩點（不是橢圓的左右頂點），并滿足 試研究：直線是否過定點？ 若過定點，請求出定點坐標，若不過定點，請說明理由

 

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）直線過定點，定點坐標為 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得：，解這個方程組求出a、c即得橢圓的標準方程

（Ⅱ）將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，

將直線方程代入橢圓方程得：

用韋達定理找到點，的坐標與k、m的關(guān)系

再由可得A、B的坐標間的一個關(guān)系式，由此消去得m、k之間的關(guān)系式，用此關(guān)系式將直線的方程中的參數(shù)m或k換掉一個，由此即可看出直線是否恒過一個定點 

試題解析：（Ⅰ）由已知與（Ⅰ）得：，，

，， 

橢圓的標準方程為    4分

（Ⅱ）設(shè)，，

聯(lián)立

得，

又，

因為橢圓的右頂點為，

，即，

，

，

 

解得：

，，且均滿足，

當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；

當時，的方程為，直線過定點 

所以，直線過定點，定點坐標為 

考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓C：x2+3y2=3b2（b＞0）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若b=1，A，B是橢圓C上兩點，且|AB|=
3
，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•山東）如圖，橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值時m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖中橢圓內(nèi)的圓的方程為x2+y2=1，現(xiàn)借助計算機利用如圖程序框圖來估計該橢圓的面積，已知隨機輸入該橢圓區(qū)域內(nèi)的1000個點（x，y）時，輸出的i=800，則由此可估計該橢圓的面積為
5π
5π
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•福州模擬）如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）的上、下頂點分別為A、B，已知點B在直線l：y=-1上，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•武清區(qū)一模）如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-1，0）、
F2（1，0），M、N是直線x=a2上的兩個動點，且
F1M
•
F2N
=0．
（1）設(shè)曲線C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關(guān)系；
（2）若以MN為直徑的圓中，最小圓的半徑為2
2
，求橢圓的方程．

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