三棱錐S—ABC中，一條棱長為a,其余棱長均為1，求a為何值時VS—ABC最大，并求最大值.

a為時，三棱錐的體積最大為


解析:

  方法一  如圖所示，

設(shè)SC=a，其余棱長均為1，

取AB的中點H，連接HS、HC，

則AB⊥HC，AB⊥HS，

∴AB⊥平面SHC.

在面SHC中，過S作SO⊥HC，則SO⊥平面ABC.

在△SAB中，SA=AB=BS=1，

∴SH=，

設(shè)∠SHO=，則SO=SHsin=sin，

∴VS—ABC=S△ABC·SO

=××12×sin

=sin≤.

當(dāng)且僅當(dāng)sin=1，即=90°時，三棱錐的體積最大.

a=SH=×=，Vmax=.

∴a為時，三棱錐的體積最大為.

方法二  取SC的中點D，可通過VS—ABC=S△ABD·SC，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的目標(biāo)函數(shù)的最大值問題，利用基本不等式或配方法解決.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐S-ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AC=2，BC=
13
，SB=
29
．
（1）證明SC⊥BC．
（2）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，SC⊥平面ABC，點P、M分別是SC和SB的中點，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°．
（1）求證：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
3
，M，N分別為AB，SB的中點．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大��；
（3）求點B到平面CMN的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為8的正三角形，SA=SC=2
7
，二面角S-AC-B的大小為60°
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求三棱錐S-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2
2
，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）求點B到平面SAC的距離；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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