Question

6．已知函數(shù)f（x）=x-alnx+$\frac{x}$在x=1處取得極值．
（1）求a與b滿足的關(guān)系式；
（2）若a∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若a＞3，函數(shù)g（x）=a²x²+3，若存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f′（1）=0即可求得a與b的關(guān)系；
（2）先求導(dǎo)得f′（x），然后對(duì)參數(shù)a分a＞2，a=2，a＜2討論即可；
（3）當(dāng)a＞3時(shí)，確定f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值，g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值，要使存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要|f（x）_max-g（x）_min|＜9，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，∴1-a-b=0，即b=1-a．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由（1）可得f′（x）=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，則x₁=1，x₂=a-1．
①當(dāng)a＞2時(shí)，x₂＞x₁，當(dāng)x∈（0，1）∪（a-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，a-1）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a-1）．
②當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）≥0，且只有x=1時(shí)為0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＜2時(shí)，x₂＜x₁，當(dāng)x∈（0，1-a）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1-a，1）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1-a），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（a-1，1）．
（3）a＞3時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）上為增函數(shù)，在（1，2]為減函數(shù)，
所以f（x）的最大值為f（1）=2-a＜0．                          
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以g（x）的最小值為g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$a²+3＞0．                   
所以g（x）＞f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．                            
要使存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，
只需要g（$\frac{1}{2}$）-f（1）＜9，即$\frac{1}{4}$a²+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4． …（13分）
又因?yàn)閍＞3，所以a的取值范圍是（3，4）．

點(diǎn)評(píng) 題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題．