Question

5．已知函數f（x）=-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m＜0），g（x）=-e^-x-1+1（其中e為自然對數的底數）．
（1）當實數m為何值時，直線y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$與曲線y=f（x）相切；
（2）記函數h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），（f（x）≤g（x））}\\{g（x），（g（x）＜f（x））}\end{array}\right.$x∈R，當m＞-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，試討論函數h（x）的零點個數．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，設出切點（t，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得切線的斜率，由切線的方程，可得m，t的方程，解得m=-2；
（2）由g（x）=0，解得x=-1，代入檢驗成立；由y=f（x）與x軸相切，求得m的值，討論當-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$時，當m=-$\frac{3}{2}$時，當-$\frac{3}{2}$＜m＜0時，結合三次函數的極值和f（0）＞0，即可得到零點的個數．

解答 解：（1）函數f（x）=-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的導數為f′（x）=-3x²-m，
設切點為（t，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得切線的斜率為-3t²-m，
由切線方程y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得-3t²-m=2，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2t+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得t=0，m=-2，
則有實數m為-2時，直線y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$與曲線y=f（x）相切；
（2）g（x）=-e^-x-1+1為R上的增函數，且有g（-1）=0，
當g（x）＜f（x），即-e^-x-1+1＜-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入x=-1，
可得-1+1＜1+m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有m＞-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$成立；
當g（x）≥f（x），即有-e^-x-1+1≥-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由f（x）的圖象與x軸相切，可得f′（x）=0，
即有-3x²-m=0，又-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，
解得m=-$\frac{3}{2}$，
則當-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$時，f（0）＞0，f（x）=0有兩個負根，一個正根，共3個不等的實根；
當m=-$\frac{3}{2}$時，f（x）與x軸相切，可得f（x）=0有1個負根，1個正根，共2個不等的實根；
當-$\frac{3}{2}$＜m＜0時，f（x）=0有1個正根．
綜上可得，當-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$時，h（x）有4個零點；
當m=-$\frac{3}{2}$時，h（x）有3個零點；
當-$\frac{3}{2}$＜m＜0時，h（x）有2個零點．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查函數零點的判斷，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．