Question

已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=t-3 y= 3 t

 （t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ=0．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離d的取值范圍．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：計算題,坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）應用代入法，將t=x+3代入y=

3

t，即可得到直線l的普通方程；將x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入曲線C的極坐標方程，即得曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）由圓的參數方程設出點P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根據點到直線的距離公式得到d的式子，并應用三角函數的兩角和的余弦公式，以及三角函數的值域化簡，即可得到d的范圍．

解答：解：（ I）直線l的參數方程為

x=t-3 y= 3 t

 （t為參數），
將t=x+3代入y=

3

t，得直線l的普通方程為

3

x-y+3

3

=0；
曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ=0，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入即得曲線C的直角坐標方程：（x-2）²+y²=4；
（ II）設點P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，則
d=

| 3 (2+2cosθ)-2sinθ+3 3 |

2

=

|4cos(θ+ π 6 )+5 3 |

2

，
∴d的取值范圍是：[

5 3 -4

2

，

5 3 +4

2

]．

點評：本題考查參數方程化為普通方程，極坐標方程化為直角坐標方程，同時考查圓上一點到直線的距離的最值，本題也可利用圓上一點到直線的距離的最大（最�。┦菆A心到直線的距離加半徑（減半徑）．