6.定義:記min{x1,x2,…,xn}為x1,x2,…,xn這n個(gè)實(shí)數(shù)中的最小值,記max{x1,x2,…,xn}為x1,x2,…,xn這n個(gè)實(shí)數(shù)中的最大值,例如:min{3,-2,0}=-2.
(1)求證:min{x2+y2,xy}=xy;
(2)已知f(x)=max{|x|,2x+3}(x∈R),求f(x)的最小值;
(3)若H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$,$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$,$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}(x,y∈R+),求H的最小值.

分析 (1)分類討論,利用新定義,即可證明結(jié)論;
(2)寫出分段函數(shù),即可求f(x)的最小值;
(3)分類討論,求出H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$,$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$,$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}(x,y∈R+),即可求H的最小值.

解答 (1)證明:當(dāng)xy≤0時(shí),x2+y2≥xy,則min{x2+y2,xy}=xy,
當(dāng)xy>0時(shí),由x2+y2≥2|xy|>xy,則min{x2+y2,xy}=xy,
綜上所述min{x2+y2,xy}=xy;
(2)解:f(x)=max{|x|,2x+3}=$\left\{\begin{array}{l}{|x|,x<-1}\\{2x+3,x≥-1}\end{array}\right.$,
∴當(dāng)x=-1時(shí),f(x)的有最小值,即為1;
(3)解:x=y=$\frac{1}{4}$時(shí),H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$,$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$,$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={2},H的最小值為2.
不失一般性,設(shè)x>y>0,當(dāng)x>y>$\frac{1}{4}$時(shí),
∵x,y∈R+,
∴$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$≥$\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}$=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào),
∵2>$\frac{1}{\sqrt{y}}$>$\frac{1}{\sqrt{x}}$,
∴H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$,$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$,$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={2},H的最小值為2.
當(dāng)x>$\frac{1}{4}$>y時(shí),H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$,$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$,$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$},H的最小值不存在.
當(dāng)$\frac{1}{4}$>x>y時(shí),H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$,$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$,$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$},H的最小值不存在.
綜上所述,x=y=$\frac{1}{4}$時(shí),H的最小值為2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確理解新定義是關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)若△NAB的面積為16,求直線l的方程;
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