△ABC中,a、b、c是A,B,C所對(duì)的邊,S是該三角形的面積,且
cosB
cosC
=-
b
2a+c

(1)求∠B的大�。�
(2)若a=4,S=5
3
,求b的值.
分析:(1)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式,然后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形,提取sinA,可得sinA與1+2sinB至少有一個(gè)為0,又A為三角形的內(nèi)角,故sinA不可能為0,進(jìn)而求出sinB的值,由B的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(2)由第一問(wèn)求出的B的度數(shù)求出sinB和cosB的值,再由a的值及S的值,代入三角形的面積公式求出c的值,然后再由cosB的值,以及a與c的值,利用余弦定理即可求出b的值.
解答:解:(1)由正弦定理得:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R,
∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
代入已知的等式得:
cosB
cosC
=-
sinB
2sinA+sinC

化簡(jiǎn)得:2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB
=2sinAcosB+sin(C+B)=2sinAcosB+sinA=sinA(2cosB+1)=0,
又A為三角形的內(nèi)角,得出sinA≠0,
∴2cosB+1=0,即cosB=-
1
2

∵B為三角形的內(nèi)角,∴∠B=
3
;
(2)∵a=4,sinB=
3
2
,S=5
3

∴S=
1
2
acsinB=
1
2
×4c×
3
2
=5
3
,
解得c=5,又cosB=-
1
2
,a=4,
根據(jù)余弦定理得:
b2=a2+c2-2ac•cosB=16+25+20=61,
解得b=
61
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面積公式,考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式,其中熟練掌握公式及定理,牢記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵.
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在△ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊.向量
m
=(2,0),
n
=(sinB,1-cosB)
(Ⅰ)若B=
π
3
.求
m
n

(Ⅱ)若
m
n
所成角為
π
3
.求角B的大�。�

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1
a
+
1
b
=
1
c

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(2005•靜安區(qū)一模)在ρABC中,a、b、c 分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,∠A=60°,b=1,c=4,則
a+b+c
sinA+sinB+sinC
=
2
39
3
2
39
3

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