Question

11．若函數(shù)f（x）=ax-$\frac{x}$+c（a，b，c∈R）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），且在x=2處的切線方程是y=-x+3．
（Ⅰ）確定f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b，c的方程組，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=a+$\frac{{x}^{2}}$，
將x=2代入y=-x+3中，得y=-2+3=1，
由題意知$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{f（2）=1}\\{f′（2）=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{2a-\frac{2}+c=1}\\{a+\frac{4}=-1}\end{array}\right.$，解得：a=-3，b=8，c=11，
因此f（x）=-3x-$\frac{8}{x}$+11，x≠0                           
（Ⅱ） 由f′（x）=-3+$\frac{8}{{x}^{2}}$=0得，x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0）∪（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）的極小值是f（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）=11+4$\sqrt{6}$，f（x）的極大值是f（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）=11-4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．