【題目】設(shè)橢圓()的離心率為,圓軸正半軸交于點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1); (2)見解析.

【解析】

(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計(jì)算A的坐標(biāo),計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,計(jì)算參數(shù),即可。(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo)設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可。

(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,

∴橢圓的方程可設(shè)為.

易求得,∴點(diǎn)在橢圓上,∴

解得,∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí),不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,

,∴.

當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí),可設(shè)切線的方程為,,

,即.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得,

,得.

,

.

綜上所述,圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),都有.

中,由相似得,為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)試估算該校高三年級(jí)學(xué)生獲得成績(jī)?yōu)?/span>的人數(shù);

(2)若等級(jí)、、、分別對(duì)應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分,學(xué)校要求當(dāng)學(xué)生獲得的等級(jí)成績(jī)的平均分大于90分時(shí),高三學(xué)生的考前心理穩(wěn)定,整體過關(guān),請(qǐng)問該校高三年級(jí)目前學(xué)生的考前心理穩(wěn)定情況是否整體過關(guān)?

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