【題目】設(shè)橢圓()的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1); (2)見解析.
【解析】
(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計(jì)算A的坐標(biāo),計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,計(jì)算參數(shù),即可。(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可。
(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,
∴橢圓的方程可設(shè)為.
易求得,∴點(diǎn)在橢圓上,∴,
解得,∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí),不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,,
,∴.
當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí),可設(shè)切線的方程為,,
∴,即.
聯(lián)立直線和橢圓的方程得,
∴,得.
∵,
∴,
,
∴.
綜上所述,圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),都有.
在中,由與相似得,為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知焦點(diǎn)在x軸的橢圓C:離心率e=,A是左頂點(diǎn),E(2,0)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)若斜率不為0的直線l過點(diǎn)E,且與橢圓C相交于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn),求三角形APQ面積的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),寫出的單調(diào)遞增區(qū)間(不需寫出推證過程);
(Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),若直線y=4與函數(shù)的圖像交于A,B兩點(diǎn),記,求的最大值;
(Ⅲ)若關(guān)于x的方程在區(qū)間(1,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試,當(dāng)他們被問到誰申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí),甲說:“丙或丁申請(qǐng)了”;乙說:“丙申請(qǐng)了”;丙說:“甲和丁都沒有申請(qǐng)”;丁說:“乙申請(qǐng)了”,如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對(duì)的,那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若,當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若不等式在上恒成立,求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn),求b的值及該函數(shù)的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點(diǎn),和是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn),且,,求;
(Ⅱ)若對(duì)任意,都存在(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為緩解高三學(xué)生的高考?jí)毫Γ?jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動(dòng),經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練后從該年級(jí)800名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,并將其成績(jī)分為、、、、五個(gè)等級(jí),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所示(視頻率為概率),根據(jù)圖中抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù),回答下列問題:
(1)試估算該校高三年級(jí)學(xué)生獲得成績(jī)?yōu)?/span>的人數(shù);
(2)若等級(jí)、、、、分別對(duì)應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分,學(xué)校要求當(dāng)學(xué)生獲得的等級(jí)成績(jī)的平均分大于90分時(shí),高三學(xué)生的考前心理穩(wěn)定,整體過關(guān),請(qǐng)問該校高三年級(jí)目前學(xué)生的考前心理穩(wěn)定情況是否整體過關(guān)?
(3)以每個(gè)學(xué)生的心理都培養(yǎng)成為健康狀態(tài)為目標(biāo),學(xué)校決定對(duì)成績(jī)等級(jí)為的16名學(xué)生(其中男生4人,女生12人)進(jìn)行特殊的一對(duì)一幫扶培訓(xùn),從按分層抽樣抽取的4人中任意抽取2名,求恰好抽到1名男生的概率..
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