Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，則（　�。�

• A． $f（{x_1}）＜\frac{3+2ln2}{4}$
• B． $f（{x_1}）＜-\frac{1+2ln2}{4}$
• C． $f（{x_1}）＞\frac{1+2ln2}{4}$
• D． $f（{x_1}）＞-\frac{3+2ln2}{4}$

Answer 1

分析 對f（x）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=0有兩個不同的正實根x₁，x₂，由判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系求出a的取值范圍；由x₁、x₂的關(guān)系，用x₁把a(bǔ)表示出來，求出f（x₁）的表達(dá)式最小值即可．

解答 解：由題意，f（x）=x²-2x+alnx的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$；
∵f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=0有兩個不同的正實根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，解得a＜$\frac{1}{2}$，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{a}{2}$＞0
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，
∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1
∴0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，a=2x₁-2${{x}_{1}}^{2}$，
∴f（x₁）=x²-2x₁+（2x₁-2${{x}_{1}}^{2}$）lnx₁．
令g（t）=t²-2t+（2t-2t²）lnt，其中0＜t＜$\frac{1}{2}$，
則g′（t）=2（1-2t）lnt．
當(dāng)t∈（0，$\frac{1}{2}$）時，g′（t）＜0，
∴g（t）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)．
∴g（t）＞g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3+2ln2}{4}$，
故f（x₁）=g（x₁）＞-$\frac{3+2ln2}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值與利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍的問題，是容易出錯的題目．