Question

某工廠從今年起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按現(xiàn)狀生產(chǎn)，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后每月遞增2萬元.如果從今年一月起投資400萬元增加回收凈化設(shè)備以改善生產(chǎn)環(huán)境（改造設(shè)備時間不計(jì)）.按測算，新設(shè)備投產(chǎn)后的月收入與時間的關(guān)系如圖所示.

（1）設(shè)g（n）表示投資改造后的前n個月的總收入，寫出g（n）的函數(shù)關(guān)系式;

（2）問經(jīng)過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的月累計(jì)純收入多于不改造時的月累計(jì)純收入?

Answer 1

解:（1）設(shè)a _i表示第i個月的收入，則由圖得a ₁=101，a ₅=109，且數(shù)列{a _i}的前五項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，第六項(xiàng)開始是常數(shù)列，所以g（n）=

即g（n）=

（2）不改造時的第n個月累計(jì)純收入:S_n=68n-n²，投資改造后的第n個月累計(jì)純收入:

①當(dāng)n≤5時，純收入為n²+100n-400，由n²+100n-400＞S_n=68n-n²，

解得n＞-8 +，由-8+＞-8 +=8，得n＞8，即前5個月不見效.

②當(dāng)n＞5時，純收入（109n-20）-400，由（109n-20）-400＞S_n=68n-n²，

得n²+41n-420＞0，解得n＞=8.

而n=9適合上述不等式.

所以，必須經(jīng)過8個月后，即第9個月才見效.