Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S_n=2a_n-1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n•a_2n+1=1，求

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn)的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，先求出當(dāng)n≥2時(shí)的a_n與a_n-1的關(guān)系，判斷出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，再求出a₁，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合b_n•a_2n+1=1，得到b_n的通項(xiàng)，判斷出數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn)的值．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-1（n∈N^*），
當(dāng)n≥2，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴

an

an-1

=2（n≥2，n∈N*）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1；
（2）∵b_n•a_2n+1=1，且a_n=2^n-1，
∴bn=

1

a2n+1

=

1

2(2n+1)-1

=

1

22n

=

1

4n

，
∴

bn

bn-1

=

1 4n

1 4n-1

=

1

4

，且b₁=

1

4

，
∴{b_n}是以

1

4

為首項(xiàng)，以

1

4

為公比的無窮等比數(shù)列，
∴

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn)=

lim

n→∞

1 4 ×(1- 1 4n )

1- 1 4

=

1 4

1- 1 4

=

1

3

．
∴

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn)的值為

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題時(shí)要注意觀察所給表達(dá)式的特點(diǎn)，根據(jù)式子的特點(diǎn)判斷選用何種方法進(jìn)行求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．本題同時(shí)考查了等比數(shù)列的判定以及等比數(shù)列的求和，考查了數(shù)列的極限．屬于中檔題．