1.如圖,已知橢圓C:x2a2x2a2+y2b2y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,左準線l1:x=-a2ca2c和右準線l2:x=a2ca2c分別與x軸相交于A、B兩點,且F1、F2恰好為線段AB的三等分點.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)過點D(-33,0)作直線l與橢圓相交于P、Q兩點,且滿足PDPD=2DQDQ,當(dāng)△OPQ的面積最大時(O為坐標原點),求橢圓C的標準方程.

分析 (1)通過焦點F2(c,0),右準線l2x=a2cx=a2c,得到a,c關(guān)系,然后求解離心率.
(2)由(1)知e=ca=33e=ca=33,求出b2=2c2,設(shè)橢圓方程為2x2+3y2=6c2.設(shè)直線l的方程為x=my3x=my3,聯(lián)立方程組,利用判別式以及韋達定理,求解三角形的面積,利用基本不等式求解面積的最大值,然后求解橢圓方程.

解答 解:(1)焦點F2(c,0),右準線l2x=a2cx=a2c,由題知|AB|=3|F1F2|,
2a2c=32c2a2c=32c,即a2=3c2,解得e=ca=33e=ca=33
(2)由(1)知e=ca=33e=ca=33,得a2=3c2,b2=2c2,可設(shè)橢圓方程為2x2+3y2=6c2
設(shè)直線l的方程為x=my3x=my3,代入橢圓的方程有,2m2+3y243y+66c2=0,
因為直線與橢圓相交,所以△=48m2-4(2m2+3)(6-6c2)>0,
由韋達定理得y1+y2=43m2m2+3,y1y2=66c22m2+3,又DP=2QD,所以y1=-2y2,
得到y1=83m2m2+3y2=43m2m2+3,y1y2=66c22m2+3=96m22m2+32,得到1c2=16m22m2+3,
所以SDPQ=12|OD||y1y2|=32|123m2m2+3|=18|m|2|m|2+3=1812|m|+3|m|362
當(dāng)且僅當(dāng)m2=32時,等號成立,此時c2=5,代入△滿足△>0,
所以所求橢圓方程為x215+y210=1

點評 本題考查橢圓的方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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