Question

已知函數f（x）=x³-3x．
（1）若對于區(qū)間[-2，2]上任意的兩個變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤C，求實數C的最小值．
（2）若過點（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意，對于區(qū)間[-2，2]上任意自變量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以轉化為求函數在該區(qū)間內的最值即可得解．
（2）設切點，求出切線方程，過點M（2，m）（m≠2），可作曲線y=f（x）的三條切線，可得方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三個不同的實數解，即函數g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點，從而可求實數m取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x³-3x，
求導得f′（x）=3x²-3，
∴f′（x）=0在[-2，2]上解為：x=±1，
f（-1）=2，f（1）=-2，f（-2）=-2，f（2）=2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
∴要使對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
故c的最小值為4．
（2））∵點M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，
∴設切點為（x₀，y₀），則y₀=x₀³-3x₀，
∵f′（x₀）=3x₀²-3，
∴切線的斜率為3x₀²-3，則3x₀²-3=

x03-3x0-m

x0-2

，
即2x₀³-6x₀²+6+m=0，
∵過點M（2，m）（m≠2），可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三個不同的實數解．
即函數g（x）=2x₀³-6x₀²+6+m有三個不同的零點，
則g′（x）=6x²-12x，令g′（x）=0，解得x=0或x=2，

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由題意可得g（0）＞0，且g（2）＜0，
∴6+m＞0，且m-2＜0，解得：-6＜m＜2，
∴所求實數m的取值范圍是-6＜m＜2．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和單調區(qū)間，以及極值，考查方程和函數的轉化思想，極值的符號與零點的個數的關系，屬于中檔題．