Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，求直線l被圓C截得的弦何時(shí)最長(zhǎng)，何時(shí)最短？并求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值以及最短長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）將直線l方程整理后，根據(jù)m的任意性，列出關(guān)于x與y的方程組，求出方程組的解得到x與y的值，確定出直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由（1）確定的定點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定點(diǎn)與圓心的距離d，與圓的半徑比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)直線l過(guò)圓心C時(shí)，被截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，此時(shí)弦長(zhǎng)等于圓的直徑，當(dāng)直線l和圓心與定點(diǎn)連線CD垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，利用垂徑定理及勾股定理求出最短弦長(zhǎng)，由C與D的坐標(biāo)求出直線CD的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線l的斜率，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，以及此時(shí)直線l的方程．

解答：（1）證明：∵將直線l的方程整理得：（2x+y-7）m+x+y-4=0，
由于m的任意性，∴

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得：

x=3 y=1

，
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)（3，1）；
（2）∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
∴（3，1）在圓內(nèi)，
∴直線恒經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)D，
∴直線與圓相交；
（3）當(dāng)直線l過(guò)圓心C時(shí)，被截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，此時(shí)弦長(zhǎng)等于圓的直徑，
當(dāng)直線l和圓心與定點(diǎn)連線CD垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，
最短弦長(zhǎng)為d=2

r2-5

=4

5

，
此時(shí)直線的斜率為k_CD=

1-2

3-1

=-

1

2

，
∴-

2m+1

m+1

=2，解得：m=-

3

4

，
此時(shí)直線l的方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系由d與r來(lái)判斷：當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．