已知動圓C過點（1，0）且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡E方程；
（2）設(shè)A，B為軌跡E上異于原點O的兩個不同點，直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，且α+β=45°．當α，β變化時，求證：直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．
考點：直線和圓的方程的應(yīng)用
專題：直線與圓
分析：（1）設(shè)動圓圓心M（x，y），由題設(shè)條件推導出點M的軌跡是以（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，由此能求出動圓圓心C的軌跡方程．
（2）設(shè)OA：y=kx，則OB：y=
1-k
1+k
x，聯(lián)立方程求出A，B坐標，進而利用斜率公式可證得A、B、Q（-4，4）三點共線．
解答： 解：（1）設(shè)動圓圓心M（x，y），
∵動圓C過定點（1，0），且與直線x=-1相切，
∴點M的軌跡是以（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線…（2分）
其方程為y2=4x．
∴動圓圓心C的軌跡方程是y2=4x．…（3分）
證明：（2）設(shè)OA：y=kx（k∈（0，1））
則OB的斜率kOB=tanβ=tan（45°-α）=
1-k
1+k
，
∴OB：y=
1-k
1+k
x
由
y=kx
y=
1-k
1+k
x
，可得：A（
4
k2
，
4
k
），
由
y2=4x
y=
1-k
1+k
x
可得：B（
4(1+k)2
(1-k)2
，
4(1+k)
1-k
），
下證A、B、Q（-4，4）三點共線：
∵kQA-kQB=
4
k
-4
4
k2
+4
-
4(1+k)
1-k
-4
4(1+k)2
(1-k)2
+4
=
k(1-k)
1+k2
-
k(1-k)
1+k2
=0
∴直線AB恒過定點Q（-4，4）．…（10分）
點評：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查直線過某一定點的判斷與證明，綜合性強，難度大，對數(shù)學思維的要求較高．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，點P到兩點（
2
，0），（-
2
，0）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交與A，B兩點．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）線段AB的長是3，求實數(shù)k；
（3）若點A在第四象限，判斷|
OA
|與|
OB
|的大小，并證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面內(nèi)，若M到定點F1（0，-1）、F2（0，1）的距離之和為4，則M的軌跡方程為（　�。�
A、
y2
16
+
x2
4
=1
B、
x2
16
+
y2
4
=1
C、
y2
4
+
x2
3
=1
D、
x2
4
+
y2
3
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直四棱柱A1B1C1 D1-ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件
 
時，有A1 B⊥B1 D1．（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)拋物線M：y2=4x的焦點F是橢圓N：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點．若M與N的公共弦AB恰好過F，則橢圓的長軸長為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)集合M={x|lnx＞0}，N={x|-3≤x≤3}，則M∩N=（　�。�
A、（1，3]
B、[1，3）
C、（1，3）
D、[1，3]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以坐標原點為極點，橫軸的正半軸為極軸的極坐標系下，有曲線C：ρ=4cosθ，過極點的直線θ=φ（φ∈R且φ是參數(shù)）交曲線C于兩點0，A，令OA的中點為M．
（1）求點M在此極坐標下的軌跡方程（極坐標形式）．
（2）當φ=
5π
3
時，求M點的直角坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于兩點A，B（xA＜xB），與y軸交于點C，△ABC的外接圓的圓心為M（1，-1），斜率為3的直線l與⊙M交于不同兩點E，F(xiàn)，且滿足ME⊥MF．
（1）求點A，B，C的坐標及⊙M的半徑R的值；
（2）求直線l的方程；
（3）設(shè)P是直線l上的動點，且點A，C在l的同側(cè)，求||PA|-|PC||的最大值及取得最大值時點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α是第四象限角，且sinα=-
4
5
，則tan2α的值為（　�。�
A、-
4
3
B、-
24
7
C、
24
7
D、
24
25

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