Question

10．如圖．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且AB=AC=1．
（I）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）設(shè)直線PC與平面ABCD所成角為$\frac{π}{3}$，求二面角C-PB一A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取CD中點(diǎn)E，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AE為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面PCD．
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和平面PAB的法向量，利用向量法能求出二面角C-PB一A的余弦值．

解答 證明：（1）取CD中點(diǎn)E，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AE為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AP=t，則M（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），N（0，0，$\frac{t}{2}$），P（0，0，t），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，-t），$\overrightarrow{PD}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，-t），$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{t}{2}$），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-tz=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-tz=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{2t}$），
$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0-$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=0，
又MN?平面PCD，∴MN∥平面PCD．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成角，
∵直線PC與平面ABCD所成角為$\frac{π}{3}$，∴∠PCA=$\frac{π}{3}$，
∴PA=AC•tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{2}•\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
B（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{6}$），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，-\sqrt{6}$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=a-\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b-\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$，取a=6，得$\overrightarrow{m}$=（6，2$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$），
平面PAB的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，1，0），
設(shè)二面角C-PB一A的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{54}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角C-PB一A的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．