Question

若函數(shù)f（x）滿足?m∈R，m≠0，對定義域內(nèi)的任意x，f（x+m）=f（x）+f（m）恒成立，則稱f（x）為m函數(shù)，現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①y=

1

x

；   
②y=2x；
③y=sinx；
④y=1nx
其中為m函數(shù)的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、3
• C、4
• D、2

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)m函數(shù)定義逐項判斷即可．

解答： 解：①若f（x）=

1

x

，則由f（x+m）=f（x）+f（m）得，

1

x+m

=

1

x

+

1

m

即

1

m

=

1

x+m

-

1

x

=

-m

x(x+m)

，
所以不存在常數(shù)m使f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以①不是m函數(shù)．
②若f（x）=2x，由f（x+m）=f（x）+f（m）得，2（x+m）=2x+2m，此時恒成立，所以②y=2x是m函數(shù)．
③若f（x）=sinx，由f（x+m）=f（x）+f（m）得sin（x+m）=sinx+sinm，所以當m=π時，f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以③y=sinx是m函數(shù)．
④若f（x）=1nx，則由f（x+m）=f（x）+f（m）得ln（x+m）=lnx+lnm，即ln（x+m）=lnmx，所以x+m=mx，要使x+m=mx成立則有

x=1 m=0

，所以方程無解，所以④y=1nx不是m函數(shù)．
所以為m函數(shù)的序號是②③．
其中為m函數(shù)的個數(shù)為：2個．
故選：D

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查學生利用所學知識分析解決新問題的能力，屬中檔題．