如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1.

(1)證明PA⊥平面ABCD;

(2)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大�。�

(3)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?如果存在,試確定點F在棱PC上的位置;如果不存在,請說明理由.

答案:
解析:

(1)證明:因為底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,

所以AB=AD=AC=a,在△PAB中,

,知PA⊥AB.

同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD;

(2)解:作EG∥PA交AD于G,

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,聯(lián)結(jié)EH,

則EH⊥AC,∠EHG即為二面角θ的平面角.

又PE∶ED=2∶1,所以,,

從而,θ=30°;

(3)解法一:以A為坐標(biāo)原點,直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

由題設(shè)條件,相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為

A(0,0,0),.D(0,a,0),P(0,0,a),

所以

,

設(shè)點F是棱PC上的點,,其中0<λ<1,則

解得,時,

亦即,F(xiàn)是PC的中點時,共面.

,所以當(dāng)F是棱PC的中點時,BF∥平面AEC.

解法二:當(dāng)F是棱PC的中點時,BF∥平面AEC,證明如下,

證法一:

取PE的中點M,連FM,則FM∥CE.      �、�

,知E是MD的中點.

連BM、BD,設(shè)BD∩AC=O,則O為BD的中點.

所以BM∥OE.                     �、�

由①、②知,平面BFM∥平面AEC.

,所以BF∥平面AEC.

證法二:

因為

所以共面.

,從而BF∥平面AEC.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a
,點E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大�。�
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a,點E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大小:
(Ⅱ)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=60°,SA=AB=a,SB=SD=
2
SA,點P在SD上,且SD=3PD.
(1)證明SA⊥平面ABCD;
(2)設(shè)E是SC的中點,求證BE∥平面APC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,點E、F、G分別為CD、PD、PB的中點.PA=AD=2.
(1)證明:PC∥平面FAE;
(2)求二面角F-AE-D的平面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=2,PB=PD=2
2
,點F是PC的中點.
(Ⅰ)求證:PC⊥BD;
(Ⅱ)求BF與平面ABCD所成角的大��;
(Ⅲ)若點E在棱PD上,當(dāng)
PE
PD
為多少時二面角E-AC-D的大小為
π
6
?

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同步練習(xí)冊答案
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