如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1.
(1)證明PA⊥平面ABCD;
(2)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大�。�
(3)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?如果存在,試確定點F在棱PC上的位置;如果不存在,請說明理由.
(1)證明:因為底面ABCD是菱形,∠ABC=60°, 所以AB=AD=AC=a,在△PAB中, 由 同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD; (2)解:作EG∥PA交AD于G, 由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,聯(lián)結(jié)EH, 則EH⊥AC,∠EHG即為二面角θ的平面角. 又PE∶ED=2∶1,所以 從而 (3)解法一:以A為坐標(biāo)原點,直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 由題設(shè)條件,相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為 A(0,0,0), 所以
設(shè)點F是棱PC上的點,
令
解得 亦即,F(xiàn)是PC的中點時, 又 解法二:當(dāng)F是棱PC的中點時,BF∥平面AEC,證明如下, 證法一: 取PE的中點M,連FM,則FM∥CE. �、� 由 連BM、BD,設(shè)BD∩AC=O,則O為BD的中點. 所以BM∥OE. �、� 由①、②知,平面BFM∥平面AEC. 又 證法二: 因為
所以 又 |
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PE |
PD |
π |
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