Question

某商場預(yù)計(jì)2015年從1月起前x個(gè)月顧客對某種商品的需求總量p（x）=

1

2

x（x+1）（41-2x）（x≤12，x∈Z⁺）（單位：件）
（1）寫出第x個(gè)月的需求量f（x）的表達(dá)式；
（2）若第x個(gè)月的銷售量g（x）=

f(x)-21x，1≤x＜7，x∈Z+ x2 ex ( 1 3 x2-10x+96)，7≤x≤12，x∈Z+

（單位：件），每件利潤q（x）=

10ex

x

（單位：元），求該商場銷售該商品，預(yù)計(jì)第幾個(gè)月的月利潤達(dá)到最大值？月利潤的最大值是多少？（參考數(shù)據(jù)：e⁶≈403）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=p(x)-p(x-1)=

1

2

x(x+1)(41-2x)-

1

2

(x-1)x(43-2x)=3x(14-x)，驗(yàn)證對x=1成立即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=p（1）=39；----------------------------------------（1分）
當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=p(x)-p(x-1)=

1

2

x(x+1)(41-2x)-

1

2

(x-1)x(43-2x)=3x(14-x)---（2分）
∴f（x）=-3x²+42x（x≤12且x∈Z⁺）--------------------------------------（5分）
（2）設(shè)月利潤為h（x），則h(x)=q(x)g(x)=

30ex(7-x)，1≤x＜7，x∈Z+ 10 3 x3-100x2+960，7≤x≤12，x∈Z+

-------------（6分）
∴h′(x)=

30ex(6-x)，1≤x≤7，x∈Z+ 10(x-8)(x-12)，7≤x≤12，x∈Z+

----------------------------------（8分）
當(dāng)1≤x≤6時(shí)，h'（x）≥0，當(dāng)6＜x＜7時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在x∈[1，6]單調(diào)遞增，在（6，7）上單調(diào)遞減-------------（9分）
∴當(dāng)1≤x＜7且x∈Z⁺時(shí)，h（x）_max=h（6）=30e⁶≈12090，---------------（11分）
當(dāng)7≤x≤8時(shí)，h′（x）≥0，當(dāng)8≤x≤12時(shí)，h′（x）≤0，
∴h（x）在x∈[7，8]上單調(diào)遞增，在（8，12）上單調(diào)遞減，----------------------（12分）
當(dāng)7≤x≤12且x∈Z*時(shí)，h（x）_max=h（8）=2987＜12090，----------------（13分）
綜上，預(yù)計(jì)該商品第6個(gè)月的月利潤達(dá)到最大，最大利潤約為12090元-----（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值的知識及學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．