Question

設(shè)x=-是函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx-2的一個極值點．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若方程f（x）=在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上恰有兩個不同的實根，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2mx+m …（1分）
∵x=-是函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx-2的一個極值點，
∴
∴m=-1 …（3分）
∴f（x）=x³-x²-x-2，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）

x				1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴f（x）有極大值，極小值f（1）=-3 …（5分）
（2）當0＜a＜1時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
∵=
∴在f（-a）與f（a）之間
∴方程在區(qū)間[-a，a]上不可能有兩個不同的根．…（9分）
當a＞1時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增
∴f（x）有極小值f（1）=-3
又∵
∴方程在區(qū)間[-a，a]上不可能有兩個不同的根．…（12分）
當a=1時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
此時f（-1）=f（1）=-3
∴方程有兩個根為±1．…（14分）
綜上所述：a=1．…（15分）
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用x=-是函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx-2的一個極值點，可得，從而可求m的值
進而可得函數(shù)的單調(diào)性，故可求f（x）的極大值與極小值；
（2）對參數(shù)a進行分類討論：當0＜a＜1時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而方程在區(qū)間[-a，a]上不可能有兩個不同的根；當a＞1時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，從而方程在區(qū)間[-a，a]上不可能有兩個不同的根；當a=1時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，方程有兩個根，故得解．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確分類，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而研究方程根問題．