如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直線PD與底面ABCD所成的角等于30°，
PF
=
FB
，
BE
=λ
BC
（0＜λ＜1）．
（1）若EF∥平面PAC，求λ的值；
（2）當(dāng)BE等于何值時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°？
分析：（1）通過平面PBC∩平面PAC=AC，EF⊆平面PBC，利用EF∥平面PAC，推出E為BC的中點(diǎn)，求λ的值；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、AB、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出P，B，F(xiàn)，D，坐標(biāo)，設(shè)BE=a，則E（a，1，0），通過平面PDE的法向量
n1
，平面ADE的法向量
n2
，利用
n1
•
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
2
2
，求出BE的值，使得二面角P-DE-A的大小為45°．
解答：解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=AC，EF⊆平面PBC，若EF∥平面PAC，
則EF∥PC，又F是PB的中點(diǎn)，
∴E為BC的中點(diǎn)，
∴λ=
1
2
…（5分）
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、AB、AP所在直線為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，1），B（0，1，0），F(xiàn)（0，
1
2
，
1
2
），
D（
3
，0，0），設(shè)BE=a，則E（a，1，0）
平面PDE的法向量
n1
=（1，
3
-a，
3
)，平面ADE的法向量
n2
=（0，0，1），
∴
n1
•
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
2
2
，⇒
3
1+(
3
-a)2+3
=
2
2
，
解得a=
3
-
2
或a=
3
+
2
（舍去），
當(dāng)BE=
3
-
2
時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案