Question

不等邊△ABC中，三邊長(zhǎng)為a，b，c，且a+b=2c，若過(guò)△ABC的重心G和內(nèi)心I的直線(xiàn)分該三角形兩部分的面積為S₁，S₂，（S₁≤S₂），則S₁：S₂的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的面積公式

專(zhuān)題：解三角形

分析：連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接AI并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，則IE為內(nèi)切圓I的半徑，設(shè)IE=r，根據(jù)三角形面積公式可求得即

IE

AH

的值，進(jìn)而求得

AI

AF

的值，推斷出IG∥BC，進(jìn)而根據(jù)平行線(xiàn)段比例關(guān)系求得答案．

解答： 解：連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接AI并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，則IE為內(nèi)切圓I的半徑，連接GI交AB與G′，交AC與I′，
設(shè)IE=r．
S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

（AB+BC+CA）•r，
∵a+b=2c，即BC+AC=2AB，
∴

1

2

BC•AH=

1

2

•3BC•r，
∴

r

AH

=

1

3

，即

IE

AH

=

1

3

，
∵IE∥AH，
∴

IF

AF

=

IE

AH

=

1

3

，
∴

AI

AF

=

2

3

，
∵

AG

AD

=

2

3

，
∴IG∥BC，
∴△AG′I′∽△ABC，
∴S₁：S_△ABC=4：9，
∴S₁：S₂=4：5，
故答案為：

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形面積公式的應(yīng)用，三角形重心和內(nèi)心的性質(zhì)的應(yīng)用．難度較大，是競(jìng)賽題常考的題型．