Question

已知⊙C的圓心為（3，1），且與y軸相切．若⊙C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設圓的方程為（x-3）²+（y-1）²=9，聯(lián)立（x-3）²+（y-1）²=9與y=x+a，得x²+（a-4）x+

1

2

（a-1）²=0．由此利用韋達定理和OA⊥OB，能求出a的值．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設圓的方程為（x-3）²+（y-1）²=9，
聯(lián)立（x-3）²+（y-1）²=9與y=x+a，
整理消去y得x²+（a-4）x+

1

2

（a-1）²=0．
由韋達定理x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

1

2

（a-1）²．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）
=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²
=（a-1）²+a（4-a）+a²=（a+1）²．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=(a+1)2=0，解得a=-1．

點評：本題考查實數(shù)的值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意直線與圓的位置關系的合理運用．