Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上恒有f′（x）＞x，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a＜x+$\frac{1}{x+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時，f（x）=x²-2x+ln（x+1），
則f′（x）=2x-2+$\frac{1}{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x+1}$，
f′x）=0，x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且x＞-1，
當(dāng)x∈（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）時f′x）＞0，
當(dāng)x∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，f′x）＜0，
所以函f（x）的極大值點x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，極小值點x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）因f′（x）=2x-a+$\frac{1}{x+1}$，f′x）＞x，
2x-a+$\frac{1}{x+1}$＞x，即a＜x+$\frac{1}{x+1}$，
y=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$-1≥1（當(dāng)且僅x=0時等號成立），
∴y_min=1，∴a≤1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．