Question

已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（  ）

A．               B．             C．             D．

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可知，ABC的中心為O，連CO并延長(zhǎng)交AB于D，過B1作B1E⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于E，再過B1作B1F⊥平面ABC交平面ABC于F。

設(shè)AB＝a。∵AB＝AC＝BC＝a，O是△ABC的中心，∴CD⊥AD、AD＝BD＝，∴CD＝

顯然有： 。

∵O是在平面ABC上的射影，∴O⊥平面ABC，∴AD⊥，又AD⊥CD、CD∩＝O，∴AD⊥平面，∴AD⊥。

由＝a、AD＝、⊥，得：�！�⊥平面ABC，∴⊥

由、、⊥，得：

＝

∵⊥、⊥，∴∥

∵是三棱柱，∴。

由∥,得：是平行四邊形，∴＝、=a顯然，有：AE＝AD＋DE＝＋a＝。

∵⊥平面ABC,⊥平面ABC，∴∥，∴共面。

∵是三棱柱，∴∥平面ABC，而平面ABC∩平面＝OF，∴∥OF。由∥、∥OF，得：是平行四邊形，∴＝＝

∵⊥平面ABC，∴⊥AF。，得：sin∠＝＝

考點(diǎn)：本試題考查了線面角的求解知識(shí)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于該試題中的線面角的求解，關(guān)鍵是建立線面垂直的背景，同時(shí)根據(jù)已知的邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)的關(guān)系式得到角度，進(jìn)而求解運(yùn)算，屬于難度試題。