Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)右焦點(diǎn)作一條不與坐標(biāo)軸平行的直線，若交橢圓與、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意可得， ，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得面積函數(shù)，換元討論可得的面積的取值范圍為(0,3).

試題解析：

（1）橢圓： 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，

， ，又，

， ，

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， 原點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

則（為點(diǎn)到直線的距離），

由直線過(guò)右焦點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，可設(shè)直線： ， ，

聯(lián)立方程得，得.

設(shè)， ，

則，

得.

又，

則，

令，則在上單調(diào)遞增，則，

則，即的面積的取值范圍為(0,3)