Question

已知函數f（x）=sin

x

2

-

3

cos

x

2

．
（1）求函數f（x）的周期，最大值和單調遞減區(qū)間；
（2）若f（x）=（2-

3

）cos

x

2

，求tanx；
（3）在（2）的條件下，求

sin( 3π 2 +2x)

2 cos( π 4 +x)sin(π+x)

的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,運用誘導公式化簡求值,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）先利用兩角和公式對函數解析式化簡，根據周期公式求得最小正周期，根據三角函數圖象與性質求得函數的最大值和單調增區(qū)間．
（2）根據f（x）的解析式，和已知條件建立等式求得tan

x

2

的值，進而根據二倍角公式求得tanx的值．
（3）利用tanx的值，分別求得sinxcosx，sin²x和cos2x的值，對原式利用誘導公式和兩角和公式化簡整理代入即可．

解答： 解：（1）f（x）=sin

x

2

-

3

cos

x

2

=2（

1

2

sin

x

2

-

3

2

cos

x

2

）=2sin（

x

2

-

π

3

），
∴T=

2π

1 2

=4π，f（x）_max=2×1=2，
當2kπ+

π

2

≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+

3π

2

時，4kπ+

5π

3

≤x≤4kπ+

11π

3

，k∈Z，
即函數的單調減區(qū)間為[4kπ+

5π

3

，4kπ+

11π

3

]（k∈Z）．
（2）f（x）=（2-

3

）cos

x

2

=2sin（

x

2

-

π

3

），
∴sin

x

2

=2cos

x

2

，
∴tan

x

2

=2，
∴tanx=

2tan x 2

1-tan2 x 2

=

2×2

1-4

=-

4

3

（3）∵tanx=-

4

3

，
∴sinxcosx=-

3

5

×

4

5

=-

12

25

，sin²x=(±

4

5

)2=

16

25

，cos2x=1-2sin²x=1-

32

25

=-

7

25

．
∴

sin( 3π 2 +2x)

2 cos( π 4 +x)sin(π+x)

=

-cos2x

- 2 sinx( 2 2 cosx- 2 2 sinx)

=

-cos2x

-sinxcosx+sin2x

=

- 7 25

12 25 + 16 25

=-

1

4

．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，誘導公式的應用，三角函數圖象與性質．考查了對學生基礎知識的綜合運用．