精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

（ii）當最小時，求點T的坐標.

【答案】(1)；（2）證明見解析，

【解析】

（1）由題意，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（ⅰ）設PQ的中點為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：化簡得：.再根據取等號的條件，可得T的坐標.

（1），又.

（2）橢圓方程化為.

（ⅰ）設PQ的方程為，代入橢圓方程得：.

設PQ的中點為，則

又TF的方程為，則得，

所以，即OT過PQ的中點，即OT平分線段PQ.

（ⅱ），又，所以

.

當時取等號，此時T的坐標為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.

（1）求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；

（2）若射線與曲線C交于點A（不同于極點O），與直線l交于點B，求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響．已知在某1 h內，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125．

（1）求甲、乙、丙每臺機器在這1 h內需要照顧的概率分別是多少？

（2）計算這1 h內至少有一臺機器需要照顧的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設{an}是一個首項為2，公比為q（q1）的等比數列，且3a1，2a2，a3成等差數列.

（1）求{an}的通項公式；

（2）已知數列{bn}的前n項和為Sn，b1=1，且1（n≥2），求數列{anbn}的前n項和Tn.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】用數學歸納法證明：

（1）；

（2）；

（3）設，證明：；

（4）是13的倍數；

（5），證明能被整除.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（，）的周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數的圖像．

（1）求函數與的解析式；

（2）是否存在，使得，，按照某種順序成等差數列？若存在，請確定的個數；若不存在，說明理由．

（3）求實數a與正整數n，使得在內恰有2013個零點．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】四位同學參加三項不同的競賽.

（1）每位同學必須參加一項，有幾種不同結果？

（2）每項競賽只有且必須有一位同學參加，有幾種不同結果？

（3）每位同學最多參加一項，且每項競賽只許有一位同學參加，有幾種不同結果？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數，則四面體ABCD的體積的最大值是 .

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校舉行了全體學生的一分鐘跳繩比賽，為了了解學生的體質，隨機抽取了100名學生，其跳繩個數的頻數分布表如下：

一分鐘跳繩個數

頻數

6

12

18

30

16

10

8

（1）若將抽取的100名學生一分鐘跳繩個數作為一個樣本，請將這100名學生一分鐘跳繩個數的頻率分布直方圖補充完整（只畫圖，不需要寫出計算過程）；

（2）若該校共有3000名學生，所有學生的一分鐘跳繩個數X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數的估計值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）.利用所得正態(tài)分布模型，解決以下問題：

①估計該校一分鐘跳繩個數超過165個的人數（結果四舍五入到整數）；

②若在該校所有學生中任意抽取4人，設一分鐘跳繩個數超過180個的人數為，求隨機變量的分布列、期望與方差./span>

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則，，.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案