Question

已知,函數(shù).

（1）當時，畫出函數(shù)的大致圖像；
（2）當時，根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調減區(qū)間，并用定義證明你的結論；
（3）試討論關于x的方程解的個數(shù).

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）當a=2時， ，作出圖象；
（2）由（1）寫出函數(shù)y=f（x）的單調遞增區(qū)間，再根據(jù)單調性定義證明即可；
（3）由題意知方程的解得個數(shù)等價于函數(shù)的圖像與直線的交點個數(shù).即函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù).
試題解析：（1）如圖所示
 3分
（2）單調遞減區(qū)間： 4分
證明：設任意的 
 
  5分
因為，所以
于是，即6分
所以函數(shù)在上是單調遞減函數(shù)               7分
(3) 由題意知方程的解得個數(shù)等價于函數(shù)的圖像與直線的交點個數(shù).即函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)
又，注意到，
當且僅當時，上式等號成立，借助圖像知                    8分
所以，當時，函數(shù)的圖像與直線有1個交點； 9分
當，時，函數(shù)的圖像與直線有2個交點；  10分
當，時，函數(shù)的圖像與直線有3個交點；12分.