Question

已知條件p：實(shí)數(shù)x滿足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0；條件q：實(shí)數(shù)x滿足8＜2^x+1≤16．
（1）若a=1，且“p且q”為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,充要條件

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）通過(guò)解不等式得到條件p：a＜x＜3a，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到條件q：2＜x≤3，所以a=1時(shí)，p：1＜x＜3，而由p且q為真知p真q真，所以x滿足

1＜x＜3 2＜x≤3

，解該不等式即得實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若q是p的充分不必要條件，則a滿足

a≤2 3a＞3

，解該不等式即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）由（x-a）（x-3a）＜0且a＞0，可得a＜x＜3a；
當(dāng)a=1時(shí)，有1＜x＜3；                                              
由8＜2^x+1≤16，可得2＜x≤3；
又由“p且q”為真知，p真且q真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是（2，3）；
（2）由q是p的充分不必要條件可知：p得不到q，而q能得到p；
∴

a≤2 3a＞3

，1＜a≤2；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

點(diǎn)評(píng)：考查解一元二次不等式，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及p且q真假和p，q真假的關(guān)系．