（本小題滿分12分）如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．
（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，
并求出這個值；
（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．
（Ⅰ）同解析（Ⅱ）截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．（Ⅲ）．
解法一：
（Ⅰ）證明：在正方體中，，，
又由已知可得
，，，
所以，，
所以平面．
所以平面和平面互相垂直．  4分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是
，是定值．    8分
（Ⅲ）解：設(shè)交于點，連結(jié)，
因為平面，
所以為與平面所成的角．
因為，所以分別為，，，的中點．
可知，．
所以．   12分

解法二：
以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D－xyz．由已知得，故
，，，，
，，，
，，．

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標系中，可得
，
，
．
因為，所以是平面PQEF的法向量．
因為，所以是平面PQGH的法向量．
因為，所以，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．  4分
（Ⅱ）證明：因為，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．
在所建立的坐標系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．
由為中點可知，分別為，，的中點．
所以，，因此與平面所成角的正弦值等于
． 12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知四棱錐的三視圖如下圖所示，其中主視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形.是側(cè)棱上的動點．
（1）求證：
（2）若五點在同一球面上，求該球的體積.
 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)棱，其中，為側(cè)棱上的兩個三等分點，如圖所示.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，已知正三棱柱的底面邊長是，、E是、BC的中點，AE=DE

（1）求此正三棱柱的側(cè)棱長；
（2）求正三棱柱表面積.

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（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．
在長方體中，，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為．
（1）求棱的長；
（2）若的中點為，求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為，是棱的中點.

 

 
(Ⅰ)求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的大��；
（Ⅲ）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖：在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，點M，N分別為BC，PA的中點，且
（I）證明：平面AMN；
（II）求三棱錐N的體積；
（III）在線段PD上是否存在一點E，使得平面ACE；若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）
四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90，AB＝4，CD＝1，AD＝2．

（1）求四棱錐P－ABCD的體積；
（2）求異面直線PA與BC所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問6分.）
如圖（20）圖，為平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小為，求：
（Ⅰ）點B到平面的距離;
（Ⅱ）異面直線l與AB所成的角（用反三角函數(shù)表示）.

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