Question

若正數x，y滿足

x+y≤≤6 5x+y≥7 y≥ex

，則

y

x

的最小值為

 

，最大值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：數形結合,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：由約束條件作出可行域，求出最優(yōu)解的坐標，得到

y

x

的最大值，再由導數求出曲線y=e^x過原點的切線的斜率得到

y

x

的最小值．

解答： 解：由約束條件

x+y≤6 5x+y≥7 y≥ex

作出可行域如圖，

聯(lián)立

x+y=6 5x+y=7

，解得C（

1

4

，

23

4

），
由圖可知，

y

x

的最大值為kOC=

23 4

1 4

=23；
最小值為曲線y=e^x過原點的切線的斜率．
設切點為P（x0，ex0），y′|x=x0=ex0，
則過點P（x0，ex0）處的切線方程為y-ex0=ex0（x-x₀），
把原點（0，0）代入切線方程，得-ex0=ex0(-x0)，得x₀=1．
把x₀=1代入ex0得，曲線y=e^x過原點的切線的斜率為e．
∴

y

x

的最小值為e．
故答案為：e；23．

點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，訓練了利用導數求過曲線上某點的切線的斜率，是中檔題．