Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*，都有S_n=2ⁿ⁺¹-2；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（3n-1）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n+1-2n=2n，當n=1時，a1=S1=22-2=2，符合上式，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=（3n-1）•a_n=（3n-1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，∴當n≥2時，S_n-1=2ⁿ-2，…（1分）
∴當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n+1-2n=2n，…（4分）
當n=1時，a1=S1=22-2=2，符合上式，…（5分）
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n．（n∈N^*）…（6分）
（2）解：由（1）得b_n=（3n-1）•a_n=（3n-1）•2ⁿ，…（7分）
∴{b_n}的前n項和T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①…（8分）
2T_n=2×2²+5×2³+8×2⁴+…+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②…（9分）
由①-②得，
-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6(1-2n)

1-2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8，…（13分）
∴Tn=(3n-4)×2n+1+8…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．