Question

7．平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，在極坐標(biāo)中，已知圓C經(jīng)過點$P（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，圓心為直線$l：ρsin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$與極軸的交點．求：
（1）直線l的普通方程；
（2）圓C的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，化簡即可；（2）求出圓心坐標(biāo)和半徑，從而求出圓的極坐標(biāo)方程即可．

解答 解：（1）直線$l：ρsin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴$l：\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$
（2）∵圓C圓心為直線$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$與極軸的交點，
∴在$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$中令θ=0，得ρ=1．
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（1，0）．
∵圓C經(jīng)過點$P（{\;\sqrt{2}}\right.，\frac{π}{4}\left.{\;}）$，
∴圓C的半徑為$PC=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{1^2}-2×1×\sqrt{2}cos\frac{π}{4}}=1$．
∴圓C經(jīng)過極點，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程和普通方程轉(zhuǎn)化，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)，本題是一道基礎(chǔ)題．