Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos（x+$\frac{π}{4}$）sinx，則函數(shù)f（x）的圖象（　�。�

• A． 最小正周期為T=2π
• B． 關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{8}$，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）對(duì)稱
• C． 在區(qū)間（0，$\frac{π}{8}$）上為減函數(shù)
• D． 關(guān)于直線x=$\frac{π}{8}$對(duì)稱

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cos（x+$\frac{π}{4}$）sinx=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）•sinx=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（sin2x+cos2x）-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，故A不正確；
令x=$\frac{π}{8}$，求得f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，為函數(shù)f（x）的最大值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{8}$對(duì)稱，
且f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{8}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）對(duì)稱，故B不正確、D正確；
在區(qū)間（0，$\frac{π}{8}$）上，2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$ 為增函數(shù)，故C不正確，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．