Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx的最小正周期為π，則f（x）在閉區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]的最大值為1．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）的最小正周期求出ω的值，由x的取值范圍求出f（x）的最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
且f（x）的最小正周期為π，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
∴當x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）取得最大值為1．
故答案為：1．

點評 本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題目．