在三棱錐中,
和
是邊長為
的等邊三角形,
,
分別是
的中點.
(Ⅰ)求證:∥平面
;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面
;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】本題主要考查直線與平面平行的判定,以及平面與平面垂直的判定和三棱錐的體積的計算,體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn),值得重視.
(1)欲證OD∥平面PAC,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證OD與平面PAC內(nèi)一直線平行,而OD∥PA,PA⊂平面PAC,OD⊄平面PAC,滿足定理條件;
(2)欲證平面PAB⊥平面ABC,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PAB內(nèi)一直線與平面ABC垂直,而根據(jù)題意可得PO⊥平面ABC;
(3)根據(jù)OP垂直平面ABC得到OP為三棱錐P-ABC的高,根據(jù)三棱錐的體積公式可求出三棱錐P-ABC的體積.
解:(Ⅰ)分別為
的中點,
∥
又平面
,
平面
∥平面
. ………………5分
(Ⅱ)連結(jié),
,
為
中點,
,
⊥
,
.
同理, ⊥
,
.
又,
,
,
⊥
.
⊥
,
⊥
,
,
⊥平面
.
又平面
,
平面
⊥平面
.…………………10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知垂直平面
為三棱錐
的高,且
. …………………………14分
科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年廣東省高州市高三上學期期末考試數(shù)學文卷 題型:解答題
(本小題共14分)
在三棱錐中,
和
是邊長為
的等邊三角形,
,
分別是
的中點.
(Ⅰ)求證:∥平面
;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面
;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012屆福建省泉州市高三上學期期中文科數(shù)學試卷 題型:解答題
在三棱錐中,
和
是邊長為
的等邊三角形,
,
分別是
的中點.
(1)求證:∥平面
;
(2)求證:平面⊥平面
;
(3)求三棱錐的體積.
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