Question

對任意實數a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，則實數x的取值范圍是

{x|

1

2

≤x≤

5

2

}

．

Answer 1

分析：由絕對值不等式的性質可得|a+b|+|a-b|≥2|a|，再由所給的條件可得2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），即 2≥|x-1|+|x-2|．再根據絕對值的意義求得2≥|x-1|+|x-2|
的解集．

解答：解：由絕對值不等式的性質可得|a+b|+|a-b|≥|a+b+（a-b）|=2|a|，
再由不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，可得2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），
故有2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），即 2≥|x-1|+|x-2|．
而由絕對值的意義可得|x-1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，而

1

2

和

5

2

對應點到1和2對應點的距離之和正好等于2，
故2≥|x-1|+|x-2|的解集為 x|

1

2

≤x≤

5

2

，
故答案為 x|

1

2

≤x≤

5

2

．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．