Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+3x+3-a•e^x（a為非零常數(shù)）．
（1）求g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有且僅有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）若存在b，c∈R，且b≠c，使f（b）=f（c），試判斷a•f′（$\frac{b+c}{2}$）的符號．

Answer 1

分析 （1）g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$-a，g′（x）=$\frac{-x（x+1）}{{e}^{x}}$，令g′（x）=0，解得x=0，或-1． 列出表格即可得出單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間．
（2）令f（x）=0，可得：a=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，令h（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，由（1）可得：h（x）_min=h（-1）=e，h（x）_max=h（0）=3，h（x）＞0．利用（1）畫出函數(shù)h（x）的圖象，則f（x）有且僅有一個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）與直線y=a有且僅有一個交點(diǎn)，即可得出a的取值范圍．
（3）存在b，c∈R，且b≠c，使f（b）=f（c），即函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）與直線y=a有且僅有兩個交點(diǎn)．不妨設(shè)b＜c．
①a=e時，b=-1，e=h（c）=$\frac{{c}^{2}+3c+3}{{e}^{c}}$，可得e^c+1=c²+3c+3，${e}^{\frac{c+1}{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}+3c+3}$，由圖象可得：0＜c＜1．f′（x）=2x+3-e•e^x，代入a•f′（$\frac{b+c}{2}$），即可判斷出符號．
②a=3時，c=0，3=h（b）=$\frac{^{2}+3b+3}{{e}^}$，e^b=$\frac{^{2}+3b+3}{3}$，由圖象可得：-2＜b＜-1，${e}^{\frac{b+2}{2}}$∈$（1，\sqrt{e}）$，代入a•f′（$\frac{b+c}{2}$）即可判斷出符號．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}+3x+3-a•{e}^{x}}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$-a，
g′（x）=$\frac{（2x+3）{e}^{x}-（{x}^{2}+3x+3）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{-x（x+1）}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0，解得x=0，或-1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由表格可知：函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞）．
（2）令f（x）=0，可得：a=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，h（x）_min=h（-1）=e，h（x）_max=h（0）=3，h（x）＞0．
利用（1）畫出函數(shù)h（x）的圖象，
由f（x）有且僅有一個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）與直線y=a有且僅有一個交點(diǎn)．
∴當(dāng)a＞3或0＜a＜e時，函數(shù)h（x）與直線y=a有且僅有一個交點(diǎn)．
因此：當(dāng)a＞3或0＜a＜e時，f（x）有且僅有一個零點(diǎn)．
（3）存在b，c∈R，且b≠c，使f（b）=f（c），即函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）與直線y=a有且僅有兩個交點(diǎn)．
不妨設(shè)b＜c．
①a=e時，b=-1，e=h（c）=$\frac{{c}^{2}+3c+3}{{e}^{c}}$，∴e^c+1=c²+3c+3，
∴${e}^{\frac{c+1}{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}+3c+3}$，
由圖象可得：0＜c＜1．
f′（x）=2x+3-e•e^x，
a•f′（$\frac{b+c}{2}$）=e（c-1+3-${e}^{\frac{c+1}{2}}$）=e（c+2-${e}^{\frac{c+1}{2}}$）=e（c+2-$\sqrt{{c}^{2}+3c+3}$）=e（$\sqrt{{c}^{2}+4c+4}$-$\sqrt{{c}^{2}+3c+3}$）＞0．
②a=3時，c=0，3=h（b）=$\frac{^{2}+3b+3}{{e}^}$，e^b=$\frac{^{2}+3b+3}{3}$，
由圖象可得：-2＜b＜-1.${e}^{\frac{b+2}{2}}$∈$（1，\sqrt{e}）$，
f′（x）=2x+3-e•e^x，
a•f′（$\frac{b+c}{2}$）=3（9-${e}^{\frac{b+2}{2}}$）＞0．
綜上可得：a•f′（$\frac{b+c}{2}$）的符號為正“+”號．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、函數(shù)圖象的交點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合方法、分析推理轉(zhuǎn)化解決問題能力與計算能力，屬于難題．