Question

20．已知定義在R上的函數(shù)滿足條件f（x+$\frac{3}{2$）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-$\frac{3}{4}$）為奇函數(shù)，則下面給出的命題，錯誤的是（　�。�

• A． 函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且周期T=3
• B． 函數(shù)y=f（x）在R上有可能是單調(diào)函數(shù)
• C． 函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點$（-\frac{3}{4}，0）$對稱
• D． 函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)

Answer 1

分析 題目中條件：f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函數(shù)圖象的對稱性，及函數(shù)圖象的平移變換，可得函數(shù)的對稱中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性，及單調(diào)性．

解答 解：對于A：∵f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x）∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為3，A對；
對于B：由D得：∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，B不對．
對于C：∵y=f（x-$\frac{3}{4}$）是奇函數(shù)∴其圖象關(guān)于原點對稱，
又∵函數(shù)f（x）的圖象是由y=f（x-$\frac{3}{4}$）向左平移$\frac{3}{4}$個單位長度得到，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，故C對；
對于D：由C知，對于任意的x∈R，都有f（-$\frac{3}{4}$-x）=-f（-$\frac{3}{4}$+x），用$\frac{3}{4}$+x換x，可得：f（-$\frac{3}{2}$-x）+f（x）=0，
∴f（-$\frac{3}{2}$-x）=-f（x）=f（x+$\frac{3}{2}$）對于任意的x∈R都成立，
令t=$\frac{3}{2}$+x，則f（-t）=f（t），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，D對．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性等，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應法則及函數(shù)的相應的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．是中檔題．