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(2012•昌平區(qū)二模)已知向量
a
=(cosθ,sinθ),
b
=(
3
,-1
),-
π
2
≤θ≤
π
2

(Ⅰ)當
a
b
時,求θ的值;
(Ⅱ)求|
a
+
b
|的取值范圍.
分析:(I)根據垂直的向量數量積為0,列出關于θ的方程,結合同角三角函數的關系,得tanθ=
3
,結合θ的范圍可得θ的值;
(II)根據向量模的公式,結合題中數據,化簡整理得|
a
+
b
|=
5-4sin(θ-
π
3
)
,再結合θ的范圍,利用正弦函數的圖象與性質,可得|
a
+
b
|的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵
a
b

a
b
=
3
cosθ-sinθ=0
…(2分)
整理,得tanθ=
3

又∵-
π
2
≤θ≤
π
2
,∴θ=
π
3
…(6分)
(Ⅱ)∵|
a
|=
cos2θ+sin2θ
=1,|
b
|=
3+1
=2,
a
b
=
3
cosθ-sinθ

∴|
a
+
b
|=
|
a
|2+2
a
b
+|
b
|2

=
1+2(
3
cosθ-sinθ)+4
=
5-4sin(θ-
π
3
)
…(9分)
-
π
2
≤θ≤
π
2
-
6
≤θ-
π
3
π
6
…(11分)
-1≤sin(θ-
π
3
)≤
1
2
,可得-2≤-4sin(θ-
π
3
)≤4

3
≤|a+b|≤3
,即|
a
+
b
|的取值范圍是[
3
,3]…(13分)
點評:本題給出向量坐標為含有θ的三角函數的形式,求向量的模的取值范圍,考查了向量數量積的坐標運算,同角三角函數的基本關系和三角函數的圖象與性質等知識,屬于中檔題.
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