Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為$\sqrt{3}$，圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=（$\frac{a}$）²
（1）求橢圓及圓C的方程：
（2）過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)l與圓C交于B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=-2，求直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，根據(jù)三角形面積公式$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$c•2c=$\sqrt{3}$，即可求得c，求得a和b，求得橢圓方程和橢圓方程；
（2）當(dāng)斜率出存在，設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx，將直線(xiàn)方程代入圓方程，由韋達(dá)定理可知x₁+x₂，x₁•x₂代入直線(xiàn)方程，求得y₁+y₂，y₁•y₂，求得向量 $\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，求得斜率k，即可求得直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
由b²=a²-c²=$\frac{1}{3}$c²，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
∵一個(gè)短軸端點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•b•2c=$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$c•2c=$\sqrt{3}$，解得：c=$\sqrt{3}$，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．…（5分）
（2）?當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x=0，與圓相切，不符合題意；
?當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx，
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$可得（k²+1）x²-（2k+4）x+1=0，
由條件可得△=（2k+4）²-4（k²+1）＞0，即k＞-$\frac{3}{4}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{2k+4}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）=$\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$，y₁•y₂=k²•x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
而圓心C的坐標(biāo)為（2，1），則 $\overrightarrow{CA}$=（x₁-2，y₁-1），$\overrightarrow{CB}$=（x₂-2，y₂-1），
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=-2，
即 x₁•x₂-2（x₁+x₂）+y₁•y₂-（y₁+y₂）+5=-2，
∴$\frac{1}{{k}^{2}+1}$-2×$\frac{2k+4}{{k}^{2}+1}$+$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$-$\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$+5=-2，解得k=0或k=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)k=0時(shí)，在圓C中，令y=0可得x=2±$\sqrt{3}$，
故直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$；
當(dāng)k=$\frac{4}{3}$時(shí)，直線(xiàn)l的方程為4x-3y=0，圓心（2，1）到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{丨8-3丨}{5}$=1，
故直線(xiàn)L被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
綜上可知，直線(xiàn)L被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，圓的弦長(zhǎng)公式，考查計(jì)算能力，屬于難題．