Question

【題目】（本題滿分13分）

某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費為元（為常數(shù)，且，設(shè)該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為元（），根據(jù)市場調(diào)查，銷售量與成反比，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤.

（Ⅰ）求該工廠的每日利潤元與每公斤蘑菇的出廠價元的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）若，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為多少元時，該工廠的利潤最大，并求最大值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)日銷量………………2分

日銷量

. ………………7分

（Ⅱ）當(dāng)時，………………8分

………………10分

，

. ………………12分

當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的利潤最大，最大值為元. …………13分

【解析】

（1）由條件“日銷售量與（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例”可設(shè)日銷量為 ，根據(jù)日利潤每件的利潤×件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，注意實際問題自變量的范圍．
（2）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點，討論極值是否在范圍內(nèi)，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

(1)設(shè)日銷量 (k≠0)，則＝100，

∴k＝100e30，

∴日銷量，

∴ (25≤x≤40)．

(2)當(dāng)t＝5時，，.

由y′≥0得x≤26，由y′≤0，得x≥26，

∴y在區(qū)間[25,26]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[26,40]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝26時，ymax＝100e4，

即當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的每日利潤最大，最大值為100e4元．