Question

已知函數(shù)，，

⑴求函數(shù)的單調區(qū)間；

⑵記函數(shù)，當時，在上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；

⑶記函數(shù)，證明：存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，為單調增區(qū)間，當時，為單調減區(qū)間， 為單調增區(qū)間．

（2）

（3）在第二問的基礎上，根據(jù)函數(shù)的單調性以及導數(shù)的幾何意義來證明。

【解析】

試題分析：（1）因為，

①若，則，在上為增函數(shù)，2分 ②若，令，得，

當時，；當時，．

所以為單調減區(qū)間，為單調增區(qū)間． 綜上可得，當時，為單調增區(qū)間，

當時，為單調減區(qū)間， 為單調增區(qū)間．  4分

（2）時，，

，  5分

在上有且只有一個極值點，即在上有且只有一個根且不為重根，

由得，

（i），，滿足題意；…… 6分

（ii）時，，即；… 7分

（iii）時，，得，故； 綜上得：在上有且只有一個極值點時，． ………8分注：本題也可分離變量求得．

（3）證明：由（1）可知：

（i）若，則，在上為單調增函數(shù)，

所以直線與 的圖象不可能有兩個切點，不合題意． 9分

（ⅱ）若，在處取得極值．

若，時，由圖象知不可能有兩個切點．10分

故，設圖象與軸的兩個交點的橫坐標為（不妨設），

則直線與的圖象有兩個切點即為直線與和的切點．，，

設切點分別為，則，且

，，，

即   ① ,    ② ,   ③ ,

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，即，12分

令，則，令，因為，，故存在，使得，

即存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．14分

考點：導數(shù)的運用

點評：主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，屬于難度題。